Упражнения

Упражнение 1

Верна ли в отмеченной эпистемической модели Крипке $(M, w_1)$ (рисунок выше) следующая формула:

Упражнение 2

Постройте отмеченные эпистемические модели для следующих формул:

1. \(p \wedge \neg K_a p\)
2. \(K_a p \wedge \neg K_a q\)
3. \(K_a p \wedge \neg K_b p\)
4. \(K_a p \wedge \neg K_a q \wedge K_b q \wedge \neg K_b p\)

Упражнение 3

Постройте отмеченные эпистемические модели для следующих формул (или докажите, что это невозможно):

1. \(\hat{K}_a p \wedge \hat{K}_a \neg p \)
2. \(K_a p \wedge (p \to q) \wedge \neg K_a q \)
3. \(K_a p \wedge K_a ( p \to q) \wedge \neg K_a q \)
4. \(K_a p \wedge K_b \neg p \)
5. \( K_a K_b p \wedge \neg K_a p \)
6. \( K_a K_b p \wedge \neg K_b K_a p \)
7. \( K_b K_a p \wedge K_a K_b p \wedge \neg K_a K_b K_a p \)

Упражнение 4

Постройте отмеченные эпистемические модели для следующих формул (или докажите, что это невозможно):

1. \( E_{ab}p \wedge K_a K_b p \wedge \neg K_b K_a p \)
2. \( E_{ab}p \wedge \neg K_a K_b p \wedge \neg K_b K_a p \)
3. \( E^2_{ab}p \wedge K_a K_b K_a p \wedge \neg K_b K_a K_b p \)
4. \( E^2_{ab}p \wedge \neg K_a K_b K_a p \wedge \neg K_b K_a K_b p \)

Упражнение 5

Постройте эпистемические модели, которые бы описывали следующую ситуацию:

1. На столе лежит конверт, в котором возможно лежит письмо (пусть \(p:=\) «в конверте лежит письмо»). Ни Аня, ни Борис не знают пуст конверт или нет.
2. Аня и Борис вместе открывают конверт.
3. Аня на глазах Бориса открывает конверт, но не показывает его содержимое Борису.
4. Борис вышел в другую комнату, а затем вернулся. За это время Аня могла посмотреть содержимое конверта.
5. Сначала Борис вышел в другую комнату и вернулся, а потом Аня вышла в другую комнату и вернулась. Каждый из них мог открыть конверт.

Упражнение 6

Найдите формулы которые различают модели в предыдущем упражнении. Важно, что речь идет именно о модели, а не отмеченной модели, то есть, формула должна выполнятся в каждом из миров. Используйте оператор общего знания \(C_{ab}\). Также удобно использовать следующее сокращение: \(K^{?}_{i} \varphi:= K_i \varphi \vee K_i \neg \varphi\).