Язык эпистемической логики

Определение. Язык эпистемической логики порождается следующей грамматикой:

где $p \in Prop$ (множество пропозициональных переменных), $i \in \mathcal{A}$ (множество агентов).

Эпистемические модальности читаются следующим образом:

• $K_i \varphi$ - $i$ знает, что $\varphi$
• $\hat{K}_i \varphi$ - $i$ допускает, что $\varphi$

Семантика

Эпистемическая модель Крипке

Определение. Эпистемической моделью Крипке будем называть следующую структуру:

где

• $\mathcal{A} \not = \varnothing$ – конечное множество агентов
• $W \not = \varnothing$ – множество возможных миров (ситуаций)
• $\sim_{i} \; \subseteq W \times W$ – отношение достижимости для агента $i \in \mathcal{A}$, $\sim_{i}$ является отношением эквивалентности (то есть, оно рефлексивно, симметрично и транзитивно)
• $V: Prop \to \mathcal{P}(W)$

Условия истинности формулы в модели

Определение. Истинность в модели

• $\mathcal{M}, w \models p$ е.т.е. $ w \in V(p)$
• $\mathcal{M}, w \models \neg \varphi $ е.т.е. $\mathcal{M}, w \not \models \varphi$
• $\mathcal{M}, w \models \varphi \wedge \psi $ е.т.е. $ \mathcal{M}, w \models \varphi$ и $ \mathcal{M}, w \models \psi$
• $\mathcal{M}, w \models \varphi \vee \psi $ е.т.е. $ \mathcal{M}, w \models \varphi$ или $ \mathcal{M}, w \models \psi$
• $\mathcal{M}, w \models \varphi \to \psi $ е.т.е. если $\mathcal{M}, w \models \varphi$, то $\mathcal{M}, w \models \psi$
• $\mathcal{M}, w \models K_i \varphi $ е.т.е. $ \forall w’ (w \sim_i w’ \to \mathcal{M}, w’ \models \varphi)$
• $\mathcal{M}, w \models \hat{K}_{i} \varphi $ е.т.е. $ \exists w’ (w \sim_i w’ \wedge \mathcal{M}, w’ \models \varphi)$